LoL n°4 – SIS4 – sistemi di ordine 0-1-2

by / giovedì, 16 Aprile 2020 / Published in Didattica, Lezioni On-line

 

LEZIONI on LINE n° 4

Sistemi

Sistemi di ordine 0-1-2 / Filtri 1° e 2° ordine

Per gli alunni della classe 4° di elettronica Istituto Tecnico

 

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Prerequisiti:

  1. simbologia ed utilizzo degli Schemi a Blocchi (SB);
  2. rappresentazione dei segnali elettrici nel tempo e nella frequenza
  3. conoscenza dei principali componenti elettrici
  4. lettura dei data sheet

 

Definiamo Sistema l’insieme di elementi coordinati tra loro in una unità funzionale. Per visualizzare le informazioni coinvolte utilizziamo la simbologia degli SB.

Analisi di un sistema semplice, per studiare un sistema bisogna

  • analizzare il sistema reale – le sue caratteristiche
  • schematizzarlo – individuare le interconnessioni, gli ingressi e le uscite
  • identificarlo – riconoscerne gli elementi
  • farne un modello – scelta dei parametri principali (precisione, stabilità etc)
  • utilizzare il modello – sia per la risoluzione dei problemi che per l’indagine dei sistemi simili

 

Sistemi di Ordine Zero

Un sistema è definito di ordine zero quando l’uscita è legata all’ingresso mediante una costante. Avremo quindi a*y(t) = x(t). Per le trasformate avremo G(s) = Y(s)/X(s) = k.

Avremo che questo sistema non altera le caratteristiche temporali del segnale di ingresso ma semplicemente lo amplifica o lo attenua; non ci saranno variazioni di ampiezza con la frequenza o variazioni di fase.

 

Sistemi di Ordine Uno

Un sistema elementare del primo ordine è caratterizzato da una funzione di trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma che presenta un solo polo

in cui la costante di tempo τ costituisce il parametro che caratterizza il comportamento dinamico.
Avremo che questo sistema altera le caratteristiche temporali del segnale di ingresso con le conseguenti variazioni di ampiezza con la frequenza e variazioni di fase.

 

Sistemi di Ordine Due

Un sistema elementare del secondo ordine è caratterizzato da una funzione di trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma che presenta una coppia di poli complessi e coniugati (Spesso i sistemi in retroazione, anche se di ordine elevato, presentano una risposta analoga a quella dei sistemi del secondo ordine).

Per il tipico sistema del secondo ordine, la cui funzione di trasferimento, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma

Anche questo sistema altera le caratteristiche temporali del segnale di ingresso con le conseguenti variazioni di ampiezza con la frequenza e variazioni di fase.

Se in ingresso di un sistema mettiamo un gradino unitario (un segnale al valore ZERO che dall’istante t1 passa istantaneamente al valore UNO) avremo diversi tipi di uscite a seconda dell’ordine del sistema:

 

Funzione di Trasferimento (F.d.T.)

Definiamo F.d.T. Il rapporto tra l’uscita e l’ingresso delle trasformate di Laplace del sistema scelto (un solo ingresso ed una sola uscita).

La trasformate di Laplace è un operatore matematico biunivoco, esiste sempre una antitrasformata che ci permette di tornare nel dominio di partenza, che trasforma i circuiti elettrici dal dominio del tempo al dominio della frequenza (o della pulsazione poiché omega è uguale a 2 pigreco per la frequenza).

Trasformata di Laplace

Funzione di Trasferimento

 

Filtri del 1° Ordine

Definiamo filtro del primo ordine un circuito elettrico dove è stato inserito un elemento reattivo (capacità – induttanza).

I principali filtri che consideriamo sono:

  • Ideali – ovviamente non esistono ma sono molto utili per iniziare lo studio dei filtri.
  • Reali – lo studio di quelli ideali ci permette facilmente di studiare i filtri “veri”.
  • Passivi – il guadagno del circuito è sempre inferiore a uno.
  • Attivi – in alcune condizioni il guadagno del circuito è maggiore di uno.
  • Passa Basso – i segnali applicati in ingresso per le frequenze basse (minori della frequenza di taglio) raggiungono inalterati l’uscita; i segnali applicati in ingresso per le frequenze alte (maggiori della frequenza di taglio) non raggiungono l’uscita.
  • Passa Alto – i segnali applicati in ingresso per le frequenze basse (minori della frequenza di taglio) non raggiungono l’uscita; i segnali applicati in ingresso per le frequenze alte (maggiori della frequenza di taglio) raggiungono inalterati l’uscita.
  • Passa Banda – i segnali applicati in ingresso tra le due frequenze di taglio raggiungono inalterati l’uscita; i segnali applicati in ingresso all’esterno delle due frequenze di taglio non raggiungono l’uscita.
  • Elimina Banda – i segnali applicati in ingresso tra le due frequenze di taglio non raggiungono l’uscita; i segnali applicati in ingresso all’esterno delle due frequenze di taglio raggiungono inalterati l’uscita.

Ricordiamo che la banda passante è l’intervallo di frequenze nel filtro ideale dove l’uscita è uguale all’ingresso.

Confrontiamo un filtro PB con uno PA. I due filtri hanno la stessa frequenza di taglio

poiché i valori dei componenti sono uguali. Il calcolo teorico da il risultato di 15,923 Khz che è ben approssimato con il valore misurato (nel circolo blu) che possiamo leggere per i due filtri di 15,441 KHz.

Analizziamo i segnali di ingresso e di uscita dei due filtri. Immettendo in ingresso un segnale piccolo (5 Hz) rispetto alla frequenza di taglio (Ft) vediamo che per il PB l’uscita e l’ingresso sono quasi uguali mentre per il PA l’uscita è attenuata rispetto all’ingresso.

Notiamo la stessa scala di visualizzazione per entrambi i filtri e che per il PA l’uscita è in ritardo di fase mentre per il PA è in anticipo di fase (cerchio giallo). La situazione si inverte all’aumentare della frequenza a 25 e 50 Hz, nella seconda e terza immagine.

  

 

Esempio n° 1 – Filtro del 2° Ordine:

Analizziamo il comportamento di un filtro RCL del 2° ordine. Questo filtro è un filtro passa banda. Ricordiamo che la frequenza di taglio si calcola come:

 

da quanto visto possiamo concludere che questo filtro è del tipo PASSA BANDA. Rispetto alla frequenza di taglio calcolata di 50,32 Khz vediamo di quanto attenua il filtro prima, alla frequenza di taglio e dopo (cerchio blu). Notiamo anche che inizialmente l’uscita è in anticipo di fase e poi assume un ritardo di fase (cerchio verde).

 

CONCLUSIONI:

La materia scolastica di Sistemi permette di schematizzare la realtà per utilizzarla facilmente nelIo studio astratto di una classe di problemi. Particolare attenzione va posta alla gestione delle grandezze matematiche coinvolte.

 

Roma 17 aprile 2020

Il docente

LERTERI C. Francesco

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